Guia
Exercícios resolvidos de SEV e eletrorresistividade
Doze exercícios de sondagem elétrica vertical, do fator K ao erro RMS do ajuste, em ordem crescente de dificuldade. Cada um traz o enunciado, a solução passo a passo escondida para você tentar antes e o link da ferramenta grátis que confere o resultado. Todos os números foram calculados com as mesmas funções do app Rhoa.
Atualizado em · 18 min de leitura · por Equipe Rhoa
Como usar esta lista
Resolva cada exercício no papel ou na calculadora, abra “Ver a solução” para comparar o caminho e o resultado e use a ferramenta indicada para testar variações. Os exercícios 1 a 5 cobrem a geometria de campo; 6 a 8, a curva de resistividade aparente; 9 a 11, a interpretação das camadas; e o 12, a qualidade do ajuste. A teoria está no guia completo de SEV e nos verbetes do glossário.
Convenções: distâncias em metros, resistividade em Ω·m, arranjo Schlumberger (ou Wenner-Schlumberger) quando não se diz outro, e resultados arredondados só no fim. A profundidade estimada Z = 0,191 · AB e as faixas de litologia citadas são convenções do Rhoa, não regras universais.
Exercícios 1 a 5: fator K, ρa e trena
Exercício 1. Fator K e trena no primeiro scan
No primeiro scan do preset de campo, AB/2 = 1,0 m e MN = 0,2 m. Calcule (a) o fator geométrico K do arranjo Schlumberger, (b) as posições de A1, M2, N3 e B4 numa trena contínua com marco zero em A1 e (c) a profundidade estimada pela convenção do Rhoa.
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Fator geométrico Schlumberger
K = π · [(AB/2)² − (MN/2)²] / MN
(a) (AB/2)² = 1,00 m² e (MN/2)² = 0,01 m². Então K = π · (1,00 − 0,01) / 0,2 = π · 0,99 / 0,2 = 15,55 m.
(b) A1 = 0; M2 = AB/2 − MN/2 = 1,0 − 0,1 = 0,90 m; N3 = AB/2 + MN/2 = 1,10 m; B4 = AB = 2,00 m. O centro da SEV fica em AB/2 = 1,00 m na trena.
(c) Z = 0,191 · AB = 0,191 · 2,0 = 0,38 m (cerca de 0,4 m). É uma estimativa da ordem de grandeza da profundidade investigada, não a profundidade de uma camada.
Confira: calculadora de fator K e posições da trena. Este é o caso de teste usado para validar o motor do Rhoa (metodologia).
Exercício 2. K de Wenner e de dipolo-dipolo
(a) Num arranjo Wenner alfa com a = 10 m, o aparelho lê R = 0,85 Ω. Calcule K e ρa. (b) Num dipolo-dipolo com dipolos de a = 5 m, nível n = 3, a leitura é R = 0,042 Ω. Calcule K e ρa. (c) Por que o K do dipolo-dipolo é tão maior?
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Wenner alfa e dipolo-dipolo
Wenner: K = 2π · a; dipolo-dipolo: K = π · n(n + 1)(n + 2) · a; ρa = K · R
(a) K = 2π · 10 = 62,83 m; ρa = 62,83 · 0,85 = 53,41 Ω·m.
(b) K = π · 3 · 4 · 5 · 5 = π · 300 = 942,48 m; ρa = 942,48 · 0,042 = 39,58 Ω·m.
(c) No dipolo-dipolo os eletrodos de potencial ficam fora do par de corrente e se afastam dele a cada nível. O potencial cai rápido com a distância, então a mesma ρa produz um R muito menor, e K compensa isso. Na prática, R pequeno significa sinal fraco: é o motivo de o dipolo-dipolo ser mais sensível a ruído nos níveis altos. Veja dipolo-dipolo ou Wenner.
Confira: abas Wenner e dipolo-dipolo da calculadora de fator K.
Exercício 3. Resistividade aparente a partir de ΔV e I
No scan com AB/2 = 20 m e MN = 2 m, o resistivímetro injeta I = 150 mA e mede ΔV = 12,4 mV entre M e N. Calcule a resistência R, o fator K e a resistividade aparente ρa.
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Primeiro, as unidades: ΔV = 0,0124 V e I = 0,150 A. Como as duas estão em mili, a razão é a mesma em mV/mA.
R = ΔV / I = 0,0124 / 0,150 = 0,08267 Ω.
K = π · (400 − 1) / 2 = 626,75 m.
ρa = K · R = 626,75 · 0,08267 = 51,81 Ω·m.
Erro comum: usar ΔV em mV com I em A, o que multiplica o resultado por mil. Outro: anotar R já calculado pelo aparelho e dividi-lo de novo pela corrente.
Confira: calculadora de fator K (informe R para obter ρa) e o verbete resistividade aparente.
Exercício 4. Trena na troca de MN
Na abertura AB/2 = 12,5 m, a equipe mede uma vez com MN = 0,5 m e outra com MN = 1,2 m (sobreposição para a embreagem). Dê A1, M2, N3 e B4 nas duas leituras e diga quais estacas mudam de lugar. As duas leituras respeitam a regra MN ≤ AB/5?
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| MN (m) | A1 (m) | M2 (m) | N3 (m) | B4 (m) |
|---|---|---|---|---|
| 0,5 | 0,00 | 12,25 | 12,75 | 25,00 |
| 1,2 | 0,00 | 11,90 | 13,10 | 25,00 |
A1 e B4 dependem só de AB/2 e ficam onde estão. Mudam apenas os eletrodos de potencial: M2 recua de 12,25 para 11,90 m e N3 avança de 12,75 para 13,10 m, sempre simétricos em torno do centro (12,50 m).
AB = 25 m, então AB/5 = 5 m. Os dois MN (0,5 e 1,2 m) são menores que isso: as duas leituras valem como Schlumberger.
Confira: posições da trena e dos eletrodos, que também dá as coordenadas de cada eletrodo pelo azimute.
Exercício 5. Profundidade estimada e AB/2 para um alvo
Use a convenção do Rhoa, Z = 0,191 · AB. (a) Qual a profundidade estimada no último scan do preset de 21 scans, AB/2 = 43 m? (b) Que AB/2 máximo você planejaria para chegar a um alvo a 15 m, arredondando para um múltiplo de 5 m?
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(a) Z = 0,191 · 86 = 16,43 m.
(b) Invertendo a fórmula, AB/2 = Z / (2 · 0,191) = 15 / 0,382 = 39,27 m. Arredondando para cima, AB/2 = 40 m, que dá Z = 15,28 m.
A convenção é uma regra de bolso, na ordem de grandeza da profundidade mediana de investigação de arranjos simétricos. A profundidade que a SEV realmente resolve depende dos contrastes: uma camada condutora rasa reduz o alcance, e a inversão só define bem o substrato se houver pontos depois da última inflexão. Por isso planeja-se com margem.
Confira: planejador de SEV, como planejar uma SEV e o verbete profundidade de investigação.
Exercícios 6 a 8: embreagem e leitura da curva
Exercício 6. Fator de embreagem
Uma SEV trocou o MN de 0,2 para 0,5 m em AB/2 = 5 m, com leitura dupla nessa abertura. Calcule o fator de embreagem e a ρa corrigida do segundo segmento, emendando-o ao primeiro.
| AB/2 (m) | MN (m) | ρa medida (Ω·m) |
|---|---|---|
| 3 | 0,2 | 130,0 |
| 4 | 0,2 | 124,0 |
| 5 | 0,2 | 118,0 |
| 5 | 0,5 | 109,3 |
| 6 | 0,5 | 101,2 |
| 7 | 0,5 | 95,0 |
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O primeiro segmento (MN menor) fica como medido. O fator do segundo é a razão, na abertura comum, entre o valor do segmento anterior e o do novo:
Fator de embreagem
f = ρa(MN antigo) / ρa(MN novo) = 118,0 / 109,3 = 1,0796
Todas as leituras com MN = 0,5 m são multiplicadas por f:
| AB/2 (m) | MN (m) | ρa medida | ρa corrigida (Ω·m) |
|---|---|---|---|
| 3 | 0,2 | 130,0 | 130,00 |
| 4 | 0,2 | 124,0 | 124,00 |
| 5 | 0,2 | 118,0 | 118,00 |
| 5 | 0,5 | 109,3 | 118,00 |
| 6 | 0,5 | 101,2 | 109,26 |
| 7 | 0,5 | 95,0 | 102,56 |
Depois da correção, as duas leituras em AB/2 = 5 m coincidem e a curva fica contínua. Com duas ou mais aberturas repetidas, o Rhoa usa a média geométrica das razões, o que reduz o peso de uma leitura ruim. Um salto grande, ou com sinal diferente entre aberturas repetidas, é sinal de heterogeneidade perto de M e N, não só de embreagem.
Confira: guia da embreagem de MN, com o exemplo de três trocas. A inversão 1D do Rhoa usa este mesmo cálculo antes do ajuste.
Exercício 7. Assíntotas de uma curva de duas camadas
A tabela traz uma curva Schlumberger de duas camadas. Sem inverter, estime ρ₁ e ρ₂ pelas assíntotas e diga se a curva já chegou a ρ₂ na maior abertura.
| AB/2 (m) | 1 | 2 | 5 | 10 | 20 | 50 | 100 | 200 | 500 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ρa (Ω·m) | 40,1 | 40,6 | 46,9 | 70,3 | 119,7 | 216,6 | 295,2 | 354,0 | 389,5 |
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Assíntota esquerda: com AB/2 pequeno, a corrente fica na primeira camada e ρa tende a ρ₁. O valor em AB/2 = 1 m é 40,1 Ω·m e quase não muda até 2 m, então ρ₁ ≈ 40 Ω·m.
Assíntota direita: ρa ainda sobe em AB/2 = 500 m (389,5 Ω·m), mas cada vez mais devagar. O que se pode afirmar é ρ₂ ≥ 389,5 Ω·m. O modelo usado para gerar a curva tem ρ₁ = 40 Ω·m, h₁ = 5 m e ρ₂ = 400 Ω·m: na maior abertura, a curva ainda está 2,6% abaixo de ρ₂.
Lição: a curva se aproxima de ρ₂ muito lentamente, ainda mais quando o contraste é grande. Ler a assíntota “no olho” subestima o substrato resistivo; a inversão usa a forma inteira da curva e acerta melhor.
Confira: no classificador de curva, digite 2 camadas (40 Ω·m com 5 m sobre 400 Ω·m) e veja a curva.
Exercício 8. Tipo de curva a partir do modelo
Classifique a curva de SEV de cada modelo de camadas (resistividades do topo para a base, em Ω·m).
- (a) 120 · 15 · 800
- (b) 50 · 600 · 10
- (c) 20 · 150 · 1.200
- (d) 900 · 200 · 8
- (e) 660 · 257 · 45 · 752
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Compare cada trio de camadas consecutivas: H se a do meio é a menor, K se é a maior, A se cresce sempre, Q se decresce sempre. Com quatro camadas, classifique o trio 1-2-3 e depois o 2-3-4.
| Modelo | ρ (Ω·m) | Tipo | Por quê |
|---|---|---|---|
| a | 120 · 15 · 800 | H | 120 > 15 < 800 → H: camada intermediária condutiva (ex.: aquífero/argila entre resistivos) |
| b | 50 · 600 · 10 | K | 50 < 600 > 10 → K: camada intermediária resistiva (ex.: areia seca ou crosta laterítica) |
| c | 20 · 150 · 1.200 | A | 20 < 150 < 1.200 → A: resistividade crescente com a profundidade (ex.: rocha sob manto) |
| d | 900 · 200 · 8 | Q | 900 > 200 > 8 → Q: resistividade decrescente com a profundidade (ex.: cunha salina) |
| e | 660 · 257 · 45 · 752 | QH | trio 1-2-3: 660 > 257 > 45 → Q; trio 2-3-4: 257 > 45 < 752 → H |
A letra descreve o modelo, não garante que a curva de campo mostre todas as camadas: uma camada fina ou de pouco contraste pode ficar invisível (supressão).
Confira: classificador de curva e o guia tipos de curva H, K, A e Q.
Exercícios 9 a 11: camadas, água e rocha
Exercício 9. Parâmetros de Dar Zarrouk
Um modelo invertido tem as camadas 250 Ω·m com 2 m, 12 Ω·m com 18 m, 90 Ω·m com 30 m sobre um substrato de 2.000 Ω·m. Calcule S e T de cada camada finita, os totais, as resistividades longitudinal e transversal do pacote e o coeficiente de anisotropia.
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Dar Zarrouk
S = h / ρ (S); T = h · ρ (Ω·m²); ρL = H / S; ρT = T / H; λ = √(ρT / ρL)
| Camada | h (m) | ρ (Ω·m) | S = h/ρ (S) | T = h·ρ (Ω·m²) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 250 | 0,008 | 500 |
| 2 | 18 | 12 | 1,500 | 216 |
| 3 | 30 | 90 | 0,333 | 2.700 |
| Total | 50 | — | 1,841 | 3.416 |
ρL = 50 / 1,841 = 27,15 Ω·m; ρT = 3.416 / 50 = 68,32 Ω·m; λ = 1,59.
A camada condutora de 12 Ω·m responde pela maior parte da condutância S, e a de 90 Ω·m, pela maior parte de T. Na escala de vulnerabilidade usada pelo Rhoa, a cobertura acima do aquífero (de 0 a 20 m) soma S = 1,508 S, classe “Baixa”. Veja vulnerabilidade de aquífero.
Confira: calculadora de Dar Zarrouk e os verbetes condutância longitudinal e resistência transversal.
Exercício 10. Condutividade da água em resistividade
(a) A água de um poço tem condutividade elétrica CE = 500 µS/cm a 25 °C. Qual a resistividade ρw em Ω·m? (b) Outra amostra deu 800 µS/cm medidos a 18 °C. Corrija para 25 °C, calcule ρw a 25 °C e estime os sólidos totais dissolvidos com o fator 0,65.
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Conversão
ρ (Ω·m) = 10.000 / CE (µS/cm); CE₂₅ = CE_T / [1 + 0,02 · (T − 25)]; STD ≈ k · CE₂₅
(a) 1 µS/cm = 10⁻⁴ S/m, então ρw = 10.000 / 500 = 20 Ω·m.
(b) CE₂₅ = 800 / [1 + 0,02 · (18 − 25)] = 800 / 0,86 = 930,2 µS/cm. ρw a 25 °C = 10.000 / 930,2 = 10,75 Ω·m (na temperatura da medida, 12,50 Ω·m: água fria é mais resistiva). STD ≈ 0,65 · 930,2 ≈ 605 mg/L, o que, pela aproximação da Resolução CONAMA 357/2005, já seria água salobra.
A compensação de 2% por °C e o fator do STD são aproximações para águas de composição comum.
Confira: conversor de condutividade da água e o verbete condutividade.
Exercício 11. Lei de Archie para uma areia saturada
Uma areia limpa, totalmente saturada com a água do exercício 10a (ρw = 20 Ω·m), tem porosidade φ = 30%. Calcule o fator de formação F e a resistividade da formação com a = 1 e (a) m = 2, (b) m = 1,3. Em que faixa de litologia do Rhoa cada resultado cai?
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Archie, Sw = 100%
F = a / φ^m; ρ = F · ρw
(a) F = 1 / 0,30^2 = 11,11; ρ = 11,11 · 20 = 222,2 Ω·m, na faixa “Areia fina a média / Saprolito (Rocha alterada)”.
(b) F = 1 / 0,30^1,3 = 4,78; ρ = 4,78 · 20 = 95,7 Ω·m, na faixa “Areia argilosa ou Solo residual / Aquífero poroso”.
Lição: a mesma areia com a mesma água muda de faixa só pela escolha de m. Archie (1942) encontrou m perto de 1,3 em areias inconsolidadas; m = 2 é o valor clássico para rochas consolidadas. Por isso as faixas de litologia são convenções a calibrar com poços, e a lei não vale para areias argilosas, onde a argila também conduz.
Confira: calculadora da lei de Archie (presets “Archie padrão” e “Areia inconsolidada”) e a tabela de resistividade.
Exercício 12: qualidade do ajuste
Exercício 12. Erro RMS de um ajuste
Uma inversão devolveu um modelo cuja curva sintética está na tabela, ao lado dos valores de campo. Calcule o erro relativo de cada ponto e o erro RMS percentual.
| AB/2 (m) | ρa de campo (Ω·m) | ρa sintética (Ω·m) |
|---|---|---|
| 1 | 102 | 99,5 |
| 3 | 86 | 89,2 |
| 10 | 39 | 37,3 |
| 30 | 51 | 51,7 |
| 100 | 145 | 141,9 |
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Erro RMS (relativo ao dado de campo)
eᵢ = (ρa campo − ρa sintética) / ρa campo; RMS = √(Σ eᵢ² / N) × 100%
| AB/2 (m) | eᵢ (%) | eᵢ² |
|---|---|---|
| 1 | 2,45 | 0,00060 |
| 3 | -3,72 | 0,00138 |
| 10 | 4,36 | 0,00190 |
| 30 | -1,37 | 0,00019 |
| 100 | 2,14 | 0,00046 |
Σ eᵢ² = 0,00453; dividido por N = 5 dá 0,00091; a raiz, vezes 100, dá RMS = 3,01%.
Um RMS de poucos por cento indica bom ajuste para SEV de campo, mas não prova que o modelo está certo: modelos equivalentes podem ter o mesmo RMS. Olhe também se os resíduos alternam de sinal ou se há uma tendência, que indica camada faltando.
Confira: verbete RMS e o guia de inversão 1D, que usa exatamente esta fórmula.
Para professores
Os exercícios podem ser usados em aula e em provas; troque os números e confira as novas respostas nas ferramentas grátis, que usam as mesmas fórmulas.
Material para a aula
Para treinar inversão com curvas completas, os dados de exemplo de SEV trazem curvas sintéticas em CSV com o modelo verdadeiro, para o aluno comparar com o que obteve. A página Rhoa para universidades reúne os recursos abertos para aula de campo e laboratório, e a planilha de campo serve para o aluno anotar a própria SEV.
Para imprimir com gabarito, abra as soluções antes de mandar imprimir; fechadas, elas não saem no papel.
Sugestões de variação:
- No exercício 1, peça K para todos os 21 scans do preset e compare com a tabela das posições da trena.
- No 6, inclua uma segunda abertura repetida com razão diferente e discuta a média geométrica.
- No 7, inverta o contraste (400 sobre 40 Ω·m) e compare a velocidade com que cada curva chega à assíntota.
- No 11, peça a porosidade a partir de ρ e ρw medidos, invertendo a lei de Archie.
Referências
- ARCHIE, G. E. The electrical resistivity log as an aid in determining some reservoir characteristics. Transactions of the AIME, v. 146, p. 54-62, 1942.
- BRAGA, A. C. O. Geofísica aplicada: métodos geoelétricos em hidrogeologia. São Paulo: Oficina de Textos, 2016.
- BRASIL. Conselho Nacional do Meio Ambiente. Resolução nº 357, de 17 de março de 2005.
- HEM, J. D. Study and interpretation of the chemical characteristics of natural water. 3. ed. U.S. Geological Survey Water-Supply Paper 2254, 1985.
- KOEFOED, O. Geosounding principles, 1: resistivity sounding measurements. Amsterdam: Elsevier, 1979.
- MAILLET, R. The fundamental equations of electrical prospecting. Geophysics, v. 12, n. 4, p. 529-556, 1947.
- ORELLANA, E. Prospección geoeléctrica en corriente continua. Madrid: Paraninfo, 1972.
- TELFORD, W. M.; GELDART, L. P.; SHERIFF, R. E. Applied geophysics. 2. ed. Cambridge: Cambridge University Press, 1990.
Perguntas frequentes
›Como calcular o fator geométrico K do arranjo Schlumberger?
K = π · [(AB/2)² − (MN/2)²] / MN, com as distâncias em metros. Para AB/2 = 1,0 m e MN = 0,2 m, K = π · (1,00 − 0,01) / 0,2 ≈ 15,55 m. No Wenner alfa, K = 2πa; no dipolo-dipolo, K = π · n(n + 1)(n + 2) · a.
›Como calcular a resistividade aparente a partir de ΔV e I?
Divida a diferença de potencial pela corrente para obter R = ΔV/I, em ohms, com as duas grandezas na mesma base (V e A, ou mV e mA). Depois multiplique por K: ρa = K · R. Com ΔV = 12,4 mV, I = 150 mA e K = 626,75 m, R = 0,08267 Ω e ρa ≈ 51,8 Ω·m.
›Como identificar o tipo de curva de SEV (H, K, A ou Q)?
Compare as resistividades de três camadas consecutivas: H tem a do meio menor que as vizinhas (ρ₁ > ρ₂ < ρ₃), K tem a do meio maior, A cresce sempre e Q decresce sempre. Com quatro ou mais camadas, classifique cada trio em sequência e junte as letras, como QH ou KH.
›O que são os parâmetros de Dar Zarrouk S e T?
A condutância longitudinal S = h/ρ (em siemens) e a resistência transversal T = h · ρ (em Ω·m²) de cada camada, somadas para o pacote. Eles importam porque a SEV determina bem S nas camadas condutoras e T nas resistivas, mesmo quando não separa a espessura da resistividade (princípio da equivalência).
›Como conferir as respostas dos exercícios?
Cada solução indica a ferramenta grátis do Rhoa que faz o mesmo cálculo: calculadora de fator K, posições da trena, classificador de curva, calculadora de Dar Zarrouk, conversor de condutividade da água e lei de Archie. As respostas da página são calculadas com as mesmas funções dessas ferramentas.